Наглядная планиметрия

Обычно геометрические задачи подразумевают строгие чертежи. Блогер и математик Катриона Ширер придумывает визуально привлекательные задачки, для которых не нужны чертежи. Достаточно внимательно посмотреть на картинку, вспомнить один-два факта из планиметрии, и решение найдется. С разрешения Ширер предлагаем нашим читателям испытать себя в решении этих задач.

1. Радиусы желтых кругов одинаковы. Треугольник на картинке равносторонний. Какую долю от большого круга занимают суммарно желтые круги?

1. [] 1/4
2. [] 1/16
3. [] 1/64

Правильно!

Да. В прямоугольном треугольнике с углом в 30 градусов катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы. Это означает, что радиус описанной окружности в четыре раза больше, чем радиус желтой окружности. То есть площадь одной окружности составляет 1/16 площади круга. Площадь четырех — 1/4 площади круга.

Неправильно!

Нет. В прямоугольном треугольнике с углом в 30 градусов катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы. Это означает, что радиус описанной окружности в четыре раза больше, чем радиус желтой окружности. То есть площадь одной окружности составляет 1/16 площади круга. Площадь четырех — 1/4 площади круга.

2. Радиус каждого полукруга равен пяти. Чему равна площадь заштрихованной желтым фигуры по отношению к розовому квадрату?

1. [] 1/4
2. [] 1/3
3. [] 1/2

Правильно!

Да. Торчащие куски окружностей можно вырезать и вставить внутрь. Тогда получится 8 одинаковых треугольников, из которых четыре закрашены, четыре нет.

Неправильно!

Нет. Торчащие куски окружностей можно вырезать и вставить внутрь. Тогда получится 8 одинаковых треугольников, из которых четыре закрашены, четыре нет.

3. На плоскости отмечено по вертикали 10 точек. Расстояния между соседними точками равно 4. Спирали составлены из полуокружностей, соединяющих отмеченные точки. Какая из двух фигур — красная или желтая — больше по площади?

1. [] Желтый
2. [] Красный

Правильно!

Да. Если самый маленький красный полукруг покрасить желтым, получится симметричная фигура, в которой пополам красного и желтого. Значит, красного изначально было больше.

Неправильно!

Нет. Если самый маленький красный полукруг покрасить желтым, получится симметричная фигура, в которой пополам красного и желтого. Значит, красного изначально было больше.

4. Черные точки — середины меньших сторон прямоугольников. Все прямоугольники равны и площадь каждого равна четырем. Какова площадь, занимаемая всеми тремя прямоугольниками?

1. [] 8
2. [] 9
3. [] 10

Правильно!

Да. Если от прямоугольника отрезать два треугольника отрезками, соединяющими центр фигуры с отмеченными точками, получится пятиугольник площади 3. Значит, площадь всей фигуры равна 9.

Неправильно!

Нет. Если от прямоугольника отрезать два треугольника отрезками, соединяющими центр фигуры с отмеченными точками, получится пятиугольник площади 3. Значит, площадь всей фигуры равна 9.

5. Треугольник на картинке равносторонний. Какую часть от площади описанного круга занимает заштрихованная желтым часть?

1. [] 11/16
2. [] 13/16
3. [] 7/8

Правильно!

Да. Обозначим радиус вписанной окружности за 1. Тогда радиус описанной окружности равен 2. Радиус незакрашенной окружности равен полусумме радиусов вписанной и описанной окружностей, то есть 3/2. Значит площадь равна 4 − 9/4 + 1.

Неправильно!

Нет. Обозначим радиус вписанной окружности за 1. Тогда радиус описанной окружности равен 2. Радиус незакрашенной окружности равен полусумме радиусов вписанной и описанной окружностей, то есть 3/2. Значит площадь равна 4 − 9/4 + 1.

6. Какую долю от площади большого квадрата занимают закрашенные квадраты, если все четыре — одинаковые?

1. [] 2/7
2. [] 2/5
3. [] 2/3

Правильно!

Да. Пусть сторона квадрата равна 1. Тогда окружность описана около прямоугольника со сторонами 1 и 3. Значит, квадрат диагонали равен 10 и это равно площади большого квадрата. Значит, доля равна 4/10 = 2/5.

Неправильно!

Нет. Пусть сторона квадрата равна 1. Тогда окружность описана около прямоугольника со сторонами 1 и 3. Значит, квадрат диагонали равен 10 и это равно площади большого квадрата. Значит, доля равна 4/10 = 2/5.

7. Какая часть квадрата закрашена, если все пять розовых прямоугольников одинаковы?

1. [] 5/4
2. [] 5/8
3. [] 5/16

Правильно!

Да. Пусть стороны прямоугольника равны и . Тогда два больших белых полуквадрата дают в сумме квадрат площади /2, а два маленьких полуквадрата дают в сумме /2. Получаем соотношение ( + )² = /2 + /2 + 5. Его можно переписать как ( + )² = 8. Таким образом, площадь красного прямоугольника составляет 1/8. Значит, площадь пяти прямоугольников равна 5/8.

Неправильно!

Нет. Пусть стороны прямоугольника равны и . Тогда два больших белых полуквадрата дают в сумме квадрат площади /2, а два маленьких полуквадрата дают в сумме /2. Получаем соотношение ( + )² = /2 + /2 + 5. Его можно переписать как ( + )² = 8. Таким образом, площадь красного прямоугольника составляет 1/8. Значит, площадь пяти прямоугольников равна 5/8.

Поздравляем, ваш результат: из

Новичок

Результат у вас, конечно, не очень. В следующий раз попробуйте взять бумажку с ручкой, может, выйдет получше.

Поделиться результатами

Поздравляем, ваш результат: из

Крепкая середина

Хороший результат. Вы помните планиметрию и даже можете считать в уме.

Поделиться результатами

Поздравляем, ваш результат: из

Мастер

Отличный результат! Поздравляем, вы отлично знаете планиметрию и можете считать в уме.

Поделиться результатами